Question

（2013•徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，A₁，A₂分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A₂的半径为a，过点A₁作圆A₂的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．
（1）求直线OP的方程；
（2）求

PQ

QA1

的值；
（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S₁，S₂．求S₁S₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）连结A₂P，则A₂P⊥A₁P，且A₂P=a，根据已知条件可判断△OPA₂为正三角形，从而可得OP斜率、直线OP方程；
（2）由（1）可得直线A₂P的方程和A₁P的方程，联立两方程可得P点横坐标，由离心率可化简椭圆方程，联立A₁P的方程与椭圆方程可得Q点横坐标，而

PQ

QA1

=

xP-xQ

xQ-xA1

，把各点横坐标代入上式即可求得比值；
（3）设OM的方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得B点坐标，由两点间距离公式可得OB，用-

1

k

代替上面的k可得OC，同理可得OM，ON，根据三角形面积公式可表示出S₁•S₂，变形后用基本不等式可其最大值；

解答：解：（1）连结A₂P，则A₂P⊥A₁P，且A₂P=a，
又A₁A₂=2a，所以∠A₁A₂P=60°．
又A₂P=A₂O，所以△OPA₂为正三角形，
所以∠POA₂=60°，
所以直线OP的方程为y=

3

x．
（2）由（1）知，直线A₂P的方程为y=-

3

(x-a)①，A₁P的方程为y=

3

3

(x+a)②，
联立①②解得xP=

a

2

．
因为e=

3

2

，即

c

a

=

3

2

，所以c2=

3

4

a2，b2=

1

4

a2，
故椭圆E的方程为

x2

a2

+

4y2

a2

=1．
由

y= 3 3 (x+a) x2 a2 + 4y2 a2 =1

解得xQ=-

a

7

，
所以

PQ

QA1

=

a 2 -(- a 7 )

- a 7 -(-a)

=

3

4

． 
（3）不妨设OM的方程为y=kx（k＞0），
联立方程组

y=kx x2 a2 + 4y2 a2 =1

解得B(

a

1+4k2

，

ak

1+4k2

)，
所以OB=a

1+k2 1+4k2

；
用-

1

k

代替上面的k，得OC=a

1+k2 4+k2

．
同理可得，OM=

2a

1+k2

，ON=

2ak

1+k2

．
所以S1•S2=

1

4

•OB•OC•OM•ON=a4•

k

(1+4k2)(4+k2)

．
因为

k

(1+4k2)(4+k2)

=

1 4(k2+ 1 k2 )+17

≤

1

5

，
当且仅当k=1时等号成立，
所以S₁•S₂的最大值为

a4

5

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的方程，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，能力要求较高．