Question

（湖南卷文21）已知函数有三个极值点。

（I）证明：；

（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

Answer 1

【试题解析】

（I）因为函数有三个极值点,

所以有三个互异的实根.

        设则

        当时， 在上为增函数;

        当时， 在上为减函数;

        当时， 在上为增函数;

       所以函数在时取极大值,在时取极小值.

       当或时,最多只有两个不同实根.

       因为有三个不同实根, 所以且.

       即,且,

解得且故.

（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.

         不妨设为（），则

         所以的单调递减区间是,

         若在区间上单调递减，

则, 或,

  若,则.由（I）知，,于是

  若,则且.由（I）知，

         又当时，;

         当时，.

         因此, 当时，所以且

即故或反之, 当或时，

总可找到使函数在区间上单调递减.

综上所述, 的取值范围是.