Question

已知正四棱锥的侧棱长为2

3

，那么当该棱锥体积最大时，它的高为（　　）

• A．1
• B．

  3

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．

解答：解：设底面边长为a，则高h=

(2 3 )2-( 2 a 2 )2

=

12- a2 2

，
所以体积V=

1

3

a²h=

1

3

12a4- 1 2 a6

，
设y=12a⁴-

1

2

a⁶，则y′=48a³-3a⁵，
y′=48a³-3a⁵=0，
解可得a=4，
且当a＞4时，y′≤0，函数y=12a⁴-

1

2

a⁶，在区间（4，+∞）是减函数；
当0＜a＜4时，y′＞0，函数y=12a⁴-

1

2

a⁶，在区间（0，4）是增函数；
∴当a=4时，函数y=12a⁴-

1

2

a⁶，取得最大值，即此时体积最大，
此时h=

12- a2 2

=2，
故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，正确记忆其体积公式并且能够灵活的利用导数解决最值问题．