Question

已知函数f(x)=x-

1

x

-2lnx，如果对任意m，n∈（0，a），当m＞n时满足

f(m)-f(n)

m-n

＞1，则a的最大值为

 

．

Answer 1

分析：首先对函数f(x)=x-

1

x

-2lnx求导，

f(m)-f(n)

m-n

的值必然与f'（x）的某个值相等，

f(m)-f(n)

m-n

＞1?f'（x）=1+

1

x2

-

2

x

＞1，即可求出结果．

解答：解：根据题意知可知x＞0，函数f(x)=x-

1

x

-2lnx的导数f'（x）=1+

1

x2

-

2

x

∵

f(m)-f(n)

m-n

＞1?f'（x）=1+

1

x2

-

2

x

＞1
∴-2x+1＞0
∴x＜

1

2

∴a的最大值为

1

2

故答案为

1

2

．

点评：本题考查了导数的几何意义，解题过程中要注意函数的定义域．