Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，若a+b=2，且2S=c²-（a-b）²；
（1）求

sinC

1-cosC

的值；       
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理关于面积的公式，对照已知等式可得ab（sinC-2）=-（a²+b²-c²），再结合余弦定理整理可得sinC=2-2cosC，由此即可得到

sinC

1-cosC

的值；
（2）根据（1）中求出的值结合同角三角函数的关系，算出sinC=

4

5

，利用面积公式得S=

2

5

ab，再结合a+b=2和二次函数的性质，即可得到S的最大值．

解答：解：（1）∵S=

1

2

absinC，
∴2S=absinC=c²-（a-b）²，化简得ab（sinC-2）=-（a²+b²-c²）
∵根据余弦定理，得a²+b²-c²=2abcossC
∴ab（sinC-2）=-2abcossC，整理得sinC=2-2cosC
由此可得：

sinC

1-cosC

=

2-2cosC

1-cosC

=2；…（5分）
（2）由（1）得

sinC

1-cosC

=2，结合sin²C+cos²C=1解得sinC=

4

5

∴S=

1

2

absinC=

2

5

ab
∵a+b=2，∴S=

2

5

a(2-a)=-

2

5

[(a-1)2-1]≤

2

5

，
当且仅当a=b=1时，面积S的最大值为

2

5

．…（10分）

点评：本题给出已知条件，求角C的式子的值并求三角形面积的最大值，着重考查了利用正、余弦定理解决三角形中的问题和二次函数求最值等知识，属于中档题．