Question

5．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求证：AC⊥B₁D；
（Ⅲ）若AD=2AA₁，判断直线B₁D与平面ACD₁是否垂直？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明BC∥平面ADD₁A₁，CC₁∥平面ADD₁A₁，又BC∩CC₁=C，即可证明平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁，从而可证B₁C∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）先证明BB₁⊥AC，又AC⊥BD，BB₁∩BD=B，即可证明AC⊥平面BB₁D，从而可证AC⊥B₁D；
（Ⅲ）用反证法，假设B₁D⊥平面ACD₁，由AD₁?平面ACD₁，可得B₁D⊥AD₁，再证明A₁B₁⊥AD₁，即可证明AD₁⊥平面A₁B₁D，从而可得AD₁⊥A₁D，这与四边形AA₁D₁D为矩形，且AD=2AA₁矛盾，故得证．

解答 （本题满分为14分）
证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC?平面ADD₁A₁，AD?平面ADD₁A₁，
∴BC∥平面ADD₁A₁，…（2分）
∵CC₁∥DD₁，CC₁?平面ADD₁A₁，DD₁?平面ADD₁A₁，
∴CC₁∥平面ADD₁A₁，
又∵BC∩CC₁=C，
∴平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁，…（3分）
又∵B₁C?平面BCC₁B₁，
∴B₁C∥平面ADD₁A₁．…（4分）
（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABCD，AC?底面ABCD，
∴BB₁⊥AC，…（5分）
又∵AC⊥BD，BB₁∩BD=B，
∴AC⊥平面BB₁D，…（7分）
又∵B₁D?底面BB₁D，
∴AC⊥B₁D；…（9分）
（Ⅲ）结论：直线B₁D与平面ACD₁不垂直，…（10分）
证明：假设B₁D⊥平面ACD₁，
由AD₁?平面ACD₁，可得B₁D⊥AD₁，…（11分）
由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥底面ABCD，∠BAD=90°，
可得：A₁B₁⊥AA₁，A₁B₁⊥A₁D₁，
又∵AA₁∩A₁D₁=A₁，
∴A₁B₁⊥平面AA₁D₁D，
∴A₁B₁⊥AD₁，…（12分）
又∵A₁B₁∩B₁D=B₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁D，
∴AD₁⊥A₁D，…（13分）
这与四边形AA₁D₁D为矩形，且AD=2AA₁矛盾，故直线B₁D与平面ACD₁不垂直．…（14分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了反证法的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．