题目内容
设数列an=n3+λn（n∈N），且满足a1＜a2＜a3＜…＜an＜…，则实数λ的取值范围是
[-3，+∞）
[-3，+∞）
．分析：令f（x）=x3+λx（x≥1）．由题意可知：函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，因此f′（x）=3x2+λ≥0恒成立，等价于λ≥（-3x2）max（x≥1）．利用二次函数的单调性求出最值即可．
解答：解：令f（x）=x3+λx（x≥1）．由题意可知：函数f（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴f′（x）=3x2+λ≥0恒成立，即λ≥（-3x2）max（x≥1）．
∵当x≥1时，(-3x2)max=-3×12=-3．
∴λ≥-3．
故答案为[-3，+∞）．
∴f′（x）=3x2+λ≥0恒成立，即λ≥（-3x2）max（x≥1）．
∵当x≥1时，(-3x2)max=-3×12=-3．
∴λ≥-3．
故答案为[-3，+∞）．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、二次函数的单调性、恒成立问题等基础知识与基本方法，熟练掌握问题的等价转化及其方法是解题的关键．
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