Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令Tn=(

4

5

)nSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有T_n≤T_m，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令n=1，可求出a₂，根据na_n+1=S_n+n（n+1）可得当n≥2时，有（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），两式相减可a_n+1-a_n=2，验证当n=1时，是否成立，从而得到数列{a_n}是等差数列，从而求出{a_n}的通项公式；
（2）由（1）得S_n，从而求出T_n，然后求出T_n+1与T_n-1，然后求出满足

Tn≥Tn-1 Tn≥Tn+1

的n，从而可知求出正整数m对一切正整数n，总有T_n≤T_m．

解答：解：（1）令n=1，由a₁=2及na_n+1=S_n+n（n+1）①
得a₂=4，故a₂-a₁=2，当n≥2时，有（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）②
①-②得：na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n
整理得，a_n+1-a_n=2（n≥2）
当n=1时，a₂-a₁=2，
所以数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
故a_n=2n…（6分）
（2）由（1）得S_n=n（n+1），
所以Tn=(

4

5

)nSn=(

4

5

)n(n2+n)．
故Tn-1=(

4

5

)n-1[(n-1)2+(n-1)]，Tn+1=(

4

5

)n+1[(n+1)2+(n+1)]，
令

Tn≥Tn-1 Tn≥Tn+1

，即

( 4 5 )n(n2+n)≥( 4 5 )n-1[(n-1)2+(n-1)] ( 4 5 )n(n2+n)≥( 4 5 )n+1[(n+1)2+(n+1)]

解得8≤n≤9．
故T₁＜T₂＜…＜T₈=T₉＞T₁₀＞T₁₁＞…
故存在正整数m对一切正整数n，
总有T_n≤T_m，此时m=8或m=9…..（13分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．