题目内容
已知函数f(x)=3sin2x+2
sinxcosx+5cos2x，求
（1）函数的周期和最大值；
（2）函数的单调递增区间．
| 3 |
（1）函数的周期和最大值；
（2）函数的单调递增区间．
分析：利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数y=3sin2x+2
sinxcosx+5cos2x，为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最小正周期，最大值，单调增区间．
| 3 |
解答：解：（1）∵f(x)=3sin2x+2
sinxcosx+5cos2x=3×
+
sin2x+5×
=4+
sin2x+cos2x
=2（
sin2x+
cos2x）+4=2sin（2x+
）+4，
∴函数的周期为
=π，当 2x+
=2kπ+
，k∈z时，函数取得最大值为2+4=6．
（2）令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，解得 kπ-
≤x≤，kπ+
，k∈Z，
故函数的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．
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| 1-cos2x |
| 2 |
| 3 |
| 1+cos2x |
| 2 |
| 3 |
=2（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴函数的周期为
| 2π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
故函数的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．
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