Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2sin2x-1，x∈R．
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，再把所得到的图象向左平移

π

6

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-

π

6

，

π

12

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦哈斯公式化简，后两项变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期，根据正弦函数的单调递增区间即可得到f（x）的递增区间；
（II）由第一问确定的f（x）解析式，利用平移规律得到平移后的函数解析式g（x），由x的范围求出4x的范围，求出g（x）的最小值与最大值，即可得出g（x）的值域．

解答：解：（I）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期为T=π；
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

6

+kπ≤≤

π

3

+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（II）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，
得到y=2sin（4x-

π

6

），
再把所得的图象向左平移

π

6

个单位得到g（x）=2cos4x，
当x∈[-

π

6

，

π

12

]时，4x∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴当x=0时，g（x）_max=2；当x=-

π

6

时，g（x）_min=-1，
∴y=g（x）在区间[-

π

6

，

π

12

]上的值域为[-1，2]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，余弦函数的定义域与值域，以及平移规律，熟练掌握公式是解本题的关键．