Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，．∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；
（3）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，我们易求出AC⊥BC，结合已知中平面ACFE⊥平面ABCD，及平面与平面垂直的性质定理，即可得到BC⊥平面ACFE．
（2）以点ABC-A₁B₁C₁为原点，△ABC所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，看出AM∥平面BDF等价于与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，根据向量之间的关系得到结论．
（3）要求两个平面所成的角，根据向量的加减运算做出平面的法向量，二面角B-EF-D的大小就是向量与向量所夹的角．根据向量的夹角做出结果．
解答：证明：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE
解：（2）当时，AM∥平面BDF，
以点ABC-A₁B₁C₁为原点，△ABC所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则，
AM∥平面BDF?与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，
设．
∵=（-a，0，0），，0，0）
∴=+=（-at，0，0）
又=（a，-a，-a），=（0，a，-a），
从而要使得：成立，
需，解得∴当时，AM∥平面BDF
（3B（0，a，0），，
过D作DG⊥EF，垂足为G．令==λ（a，0，0），
=+=（aλ，0，a），=-=（λa-a，a，a）
由得，，
∴
∴，即
∵BC⊥AC，AC∥EF，
∴BC⊥EF，BF⊥EF
∴二面角B-EF-D的大小就是向量与向量所夹的角．
∵=（0，a，-a）
cos＜，＞=，即二面角B-EF-D的平面角的余弦值为．

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角和线面之间的关系问题，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这是新课标高考卷中常见的一种题目．