Question

（本小题满分14分）已知如图(1)，梯形中，，，，、分别是、上的动点，且，设（）。沿将梯形翻折，使平面平面，如图（2）。
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
（Ⅲ）当取得最大值时，求二面角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵平面平面，，∴平面，
∴
∵，  又
∴平面。
又平面，
∴平面平面． ………………4分
（Ⅱ）平面,平面，
平面.
      ……………………………………6分
即时，有最大值．          ……………………………………8分
（Ⅲ）(方法一)如图，以E为原点，、、为轴建立空间直角坐标系，
 则，，，
，
∴，，
设平面的法向量为，
则 ∴
设，则，，∴  ……………………………10分
平面的一个法向量为，
∴，      ……………………………12分
设二面角为，∴
∴二面角的正弦值为     …………………………………14分
(方法二)作于，作于，连。由（1）知平面平面，平面 又平面DGH
∴是二面角的平面角的补角．…………………………………10分
由∽，知，
而，，，
∴
又，∴  ……………12分
在中，。
∴二面角的正弦值为…………………………………14分 

略