Question

（2013•嘉兴二模）设{a_n}是有穷数列，且项数n≥2．定义一个变换η：将数列a₁，a₂，…，a_n，变成a₃，a₄，…，a_n+1，其中a_n+1=a₁•a₂是变换所产生的一项．从数列1，2，3，…，2²⁰¹³开始，反复实施变换η，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产生的所有项的乘积为（　　）

A．（2²⁰¹³!）²⁰¹³

B．（2²⁰¹³!）²⁰¹²

C．（2013!）²⁰¹²

D．（2²⁰¹³!）!

Answer 1

分析：利用η变换的意义，从数列1，2，3，…，2²⁰¹³开始，反复实施变换η2²⁰¹²次得到：1×2，3×4，…，（2²⁰¹³-1）•2²⁰¹³；…依此类推，反复实施变换η2^2013-2012次得到：1×2×3×…×2²⁰¹²，（2²⁰¹²+1）•（2²⁰¹²+2）•…•（2²⁰¹²+2²⁰¹²），再经过一次η变换即可得到1×2×3×…×2²⁰¹³，因为经过每一次η变换得到所有项的乘积都为2²⁰¹³！，共需要经过1+2+…+2²⁰¹²+1=

22013-1

2-1

+1=2²⁰¹³次η变换，即可得到答案．

解答：解：从数列1，2，3，…，2²⁰¹³开始，反复实施变换η2²⁰¹²次得到：1×2，3×4，…，（2²⁰¹³-1）•2²⁰¹³；
对上述数列反复实施变换η2²⁰¹¹次得到1×2×3×4，5×6×7×8，…，（2²⁰¹³-3）（2²⁰¹³-2）（2²⁰¹³-1）•2²⁰¹³；
…
依此类推，反复实施变换η2^2013-2012次得到：1×2×3×…×2²⁰¹²，（2²⁰¹²+1）•（2²⁰¹²+2）•…•（2²⁰¹²+2²⁰¹²），
再经过一次η变换即可得到1×2×3×…×2²⁰¹³，
因为经过每一次η变换得到所有项的乘积都为2²⁰¹³！，共需要经过1+2+…+2²⁰¹²+1=

22013-1

2-1

+1=2²⁰¹³次η变换．
则变换所产生的所有项的乘积为（2²⁰¹³！）²⁰¹³．
故选A．

点评：正确理解η变换、变换的次数、经过每一次η变换得到所有项的乘积是解题的关键．