Question

判断下列命题的真假，并说明理由.

(1)在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；

(2)在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；

(3)△ABC为直角三角形的充要条件为·＝0.

Answer 1

解：(1)∵·=||||cosθ＜0,

∴θ即与的夹角为钝角，而与的夹角是∠B的补角.

∴∠B为锐角.但∠A、∠C可能有一个为钝角(或直角),

∴△ABC不一定为锐角三角形.

故命题(1)为假命题.

(2)∵·＞0,

∴与的夹角为锐角，从而夹角的补角∠B为钝角.

∴△ABC为钝角三角形.故命题(2)是真命题.

(3)△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B或∠C.当∠A或∠C为直角时，∠B一定为锐角，这时·＜0.

故命题(3)是假命题.

点评:在对以上各命题进行真假判断时，我们一定要搞清两向量的夹角与三角形内角的关系，如与的夹角为三角形内角A，而与的夹角不是三角形内角B，而是角B的补角.