Question

已知f（x）是R上的一个偶函数，g（x）是R上的一个奇函数，且满足f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的解析式；（2）设f( 1 )=

5

4

，求a与f（2）的值；（3）设f（x₀）=m，f（2x₀）=m，求x₀与m的值．

Answer 1

分析：（1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根据函数的奇偶性进行化简，得到关于f（x）与g（x）的方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式；
（2）根据f( 1 )=

5

4

可求出a的值，再将2代入，可求出f（2）的值；
（3）根据由f（x₀）=f（2x₀）建立等式关系，解之即可求出x₀的值，从而求出m的值．

解答：（满分12分）
解：（1）由题设知f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1，x∈R）…①
以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x
又f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）所以f（x）=-g（x）+a^-x…②
由①+②得f(x)=

ax+a-x

2

（a＞0，a≠1，x∈R）；…（4分）
（2）由f(1)=

a+a-1

2

=

5

4

⇒a=2或a=

1

2

⇒f(2)=

a2+a-2

2

=

17

8

；…（8分）
（3）由f（x₀）=f（2x₀）⇒ax0+a-x0=a2x0+a-2x0=(ax0+a-x0)2-2，
所以ax0+a-x0=2⇒x₀=0；m=f（x₀）=f（0）=1…（12分）

点评：本题中根据函数的奇偶性与题设中所给的解析式求出两个函数的解析式，此是函数奇偶性运用的一个技巧，做题时要细心领会，善加使用．