Question

在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=2

3

，则AB+AC的最大值为

4

7

．

Answer 1

分析：依题意，利用正弦定理可求得△ABM的外接圆直径，从而可用角表示出AB，AC，利用三角函数间的关系式即可求得AB+AC的最大值．

解答：解：∵在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=2

3

，
∴在△ABM中，设∠AMB=θ，则∠ABM=120°-θ，0＜θ＜120°，
由正弦定理得：

|AB|

sinθ

=

|AM|

sin(120°-θ)

=

|BM|

sin60°

=

2 3

3 2

=4，
∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°-θ），又点M为边AC的中点，
∴|AC|=2|AM|=8sin（120°-θ），
∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°-θ）
=4sinθ+8×

3

2

cosθ-8×（-

1

2

）sinθ
=8sinθ+4

3

cosθ
=4

7

sin（θ+φ），（其中tanφ=

3

2

）．
∴当sin（θ+φ）=1时，|AB|+|AC|取得最大值．
∴|AB|+|AC|的最大值为4

7

．
故答案为：4

7

．

点评：本题考查正弦定理的应用，考查三角函数间的关系式及辅助角公式的应用，能用三角关系式表示出AB+AC是关键，也是难点，属于中档题．