Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．
（Ⅰ）求证：BD⊥FE；
（Ⅱ）试确定点F在线段AC上的位置，使EF∥平面PBD，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．由四边形ABCD是正方形，得BD⊥平面PAC，由此能够证明BD⊥EF．
（Ⅱ）设AC与BD交于O，当F为OC中点，即AF=

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AC时，EF∥平面PBD．再利用直线与平面平行的判定定理进行证明．

解答：证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD． 又四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又EF?平面PAC，
所以BD⊥EF．…（7分）
（Ⅱ）：设AC与BD交于O，当F为OC中点，即AF=

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4

AC时，EF∥平面PBD．理由如下：
连接PO，
因为EF∥平面PBD，EF?平面PAC，平面PAC∩平面PBD=PO，
所以EF∥PO．
在△POC中，E为PC的中点，
所以F为OC中点．
在△POC中，E，F分别为PC，OC的中点，
所以EF∥PO．
又EF?平面PBD，PO?平面PBD，
故EF∥平面PBD．…（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明和直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．