Question

已知函数f（x）在R上为奇函数，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，总有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0且f（1）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集为（　　）

A．（-1，0）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析：由题意可得，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上也是增函数，f（1）=0=f（-1）．画出函数f（x）的单调性示意图，数形结合可得
不等式的解集．

解答：解：∵函数f（x）在R上为奇函数，
对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，总有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且在（-∞，0）上也是增函数．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0．
故函数f（x）的单调性示意图如图所示：
不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0，即

2f(x)

x

＜0，即x与f（x）的符号相反．
数形结合可得，不等式的解集为{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}，
故选D．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于基础题．