Question

已知命题p：x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：∵x₁，x₂是方程的两个实根，
∴，
∴，
∴当m∈[-1，1]时，；
由不等式对任意实数m∈[-1，1]恒成立，
可得，解得，
∴命题p为真命题时，；
命题q：不等式有解，
（1）当a＞0时，显然有解；
（2）当a=0时，2x-1＞0有解；
（3）当a＜0时，∵有解，
∴，
∴，
∴命题q：不等式有解时a＞-1，
∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴命题p，q的真假性有两种情况：p真q假、p假q真，
当命题p真q假时，有，得；
当p假q真时，有，得；
∴实数a的取值范围为a＜6。