Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）．
（1）当a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e^2x-be^x（e为自然对数的底数），x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）两点，且线段AB的中点为C（x，0），求证：V′（x）≠0．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函数f（x）的定义域，然后利用h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，则得到h'（x）≥0恒成立．
（2）换元，设t=e^x，将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的单调性求函数的最小值．
（3）求函数V（x）的导数，构造新函数，利用新函数的单调性证明V′（x）≠0．
解答：解：（1）当=-2时，h（x）=f（x）-g（x），所以h（x）=lnx+x²-bx，其定义域为（0，+∞），
因为函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，所以h'（x）≥0恒成立，即恒成立，
所以，当x＞0时，，当且仅当时取等号，所以，所以b的取值范围．
（2）设t=e^x，则函数φ（x）=e^2x-be^x等价为ω（t）=t²+bt，t∈[1，2]，
则，且，
所以①当时，函数ω（t）=t²+bt，在t∈[1，2]，上为增函数，所以当t=1时，ω（t）的最小值为b+1．
②当，即-4＜b＜-2时，当t=时，ω（t）的最小值为-．
③当时，函数ω（t）=t²+bt，在t∈[1，2]上为减函数，所以当t=2时，ω（t）的最小值为4+2b．
综上：当时，φ（x）的最小值为b+1．
当-4＜b＜-2时，φ（x）的最小值为-．
当b≤-4时，φ（x）的最小值为4+2b．
（3）因为V（x）=2f（x）-x²-kx=，
假设V′（x）=0，成立，且0＜x₁＜x₂，则由题意知，
，
①-②得，
所以，由（4）得，所以，
即，即  ⑤
令，则，所以，
所以u（t）在（0，1）上为单调递增函数，所以u（t）＜u（1）=0，
即，即，
这与⑤式相矛盾，所以假设不成立，故V′（x）≠0．
点评：本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，极值以及最值问题，运算量较大，综合性较强．