Question

7．求C_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ的前n项和．

Answer 1

分析 通过并项相加可知T_2n=2n+$\frac{3}{2}$（3²ⁿ-1），进而通过T_2n-1=T_2n-（4n+1）-3²ⁿ计算即得结论．

解答 解：依题意，T_2n=（-3+5）+（-7+9）+…+[-（4n-1）+（4n+1）]+（3¹+3²+…+3²ⁿ）
=2n+$\frac{3（1-{3}^{2n}）}{1-3}$
=2n+$\frac{3}{2}$（3²ⁿ-1），
∴T_2n-1=T_2n-（4n+1）-3²ⁿ
=2n+$\frac{3}{2}$（3²ⁿ-1）-（4n+1）-3²ⁿ
=-2n-$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$•3²ⁿ，
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-n-\frac{7}{2}+\frac{3}{2}•{3}^{n}，}&{n为奇数}\\{n+\frac{3}{2}（{3}^{n}-1），}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．