Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到左、右焦点F₁、F₂的距离之和为2

2

，离心率e=

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁的直线l与椭圆C交于点A、B，以F₂A、F₂B为邻边作平行四边形AF₂BM，求该平行四边形对角线F₂M的长度的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，2a=2

2

，e=

c

a

可求a，c，结合b²=a²-c²可求b，进而可求椭圆方程
（2）由题意可得|BF2|=|

AF2

+

BF2

|，F₂（1，0）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分①斜率不存在时，②当斜率存在时，

F2

A+

F2B

=（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x₁+x₂-2，y₁+y₂），利用向量的数量积的性质可先求|

F2A

+

F2B

|2=16-

4(7k2+3)

4k4+4k2+1

，可求

解答：解：（1）由题意可得，2a=2

2

∴a=

2

∵e=

c

a

=

2

2

∴c=1，b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1 
（2）∵|BF2|=|

AF2

+

BF2

|，F₂（1，0）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
当斜率不存在时，|

F2A

+

F2B

|=4
当斜率存在时，可设直线AB的方程为y=k（x+1）
联立方程

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

可得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
∴x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

∴

F2

A+

F2B

=（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x₁+x₂-2，y₁+y₂）
∴|

AF2

+ 

BF2

|2=

(8k2+2)2+4k2

(1+2k2)2

=

64k4+36k2+4

4k4+4k2+1

∴|

F2A

+

F2B

|2=16-

4(7k2+3)

4k4+4k2+1

 
F₂M 的长度的取值范围是（2，4]

点评：本题主要考查了利用椭圆的定义及性质求解椭圆的方程及向量加法的平行四边形 法则的应用，向量的数量积的坐标表示等知识的综合应用．