Question

【题目】已知函数，，．

（1）求函数的极值；

（2）若在上为单调函数，求的取值范围；

（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），无极大值；（2）；（3）.

【解析】

（1）求得，即可判断为函数的极小值点，问题得解。

（2）“在上为单调函数”可转化为：恒大于等于0或者恒小于等于0，即可转化为：或在上恒成立，再转化为在恒成立或在恒成立，求得，问题得解。

（3）构造函数，对的取值分类，当时，可判断恒成立，即不满足题意，当时，利用导数可判断在单调递增，结合，由题意可得：，问题得解

（1）因为.由得:，

当时，，当时，

所以为函数的极小值点 .

（2），.

因为在上为单调函数，

所以或在上恒成立，

等价于在恒成立，

又．当且仅当时，等号成立

等价于，

即在恒成立，而．

综上，m的取值范围是．

（3）构造函数，

当时，，

所以在不存在，使得

当时，

因为，所以在恒成立，

故在单调递增，

所以，又

所以只需，解之得，

故m的取值范围是 .