Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（ p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

2-logpan

（n∈N^*），数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用s_n+1-s_n=a_n+1求出a_n的递推公式，进而求解．
（2）将（1）中的结论代入b_n=

1

2-logpan

，求出bn，进而求出b_nb_n+2，利用列项法求出T_n，即可证明不等式．

解答：解：（Ⅰ）由题设知（p-1）a₁=p²-a₁，解得a₁=p．（2分）
∵（ p-1）S_n=p²-a_n，
∴（ p-1）S_n+1=p²-a_n+1，
两式作差得（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1．
∴(p-1)an+1=an-an+1，即an+1=

1

p

an，（4分）
∴数列{a_n}是首项为p，公比为

1

p

的等比数列．
∴an=p(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2．（6分）
（Ⅱ）∵bn=

1

2-logpp2-n

=

1

2-(2-n)

=

1

n

（8分），
∴bnbb+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)（10分），
∴T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅++b_nb_n+2
=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)++(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

（12分）．

点评：本题主要考查数列知识的综合运用以及证明不等式的能力，难度一般．