Question

已知函数f（x）=-x²+3x+1x∈[m，m+1]．
（1）求f（x）的最大值g（m）；
（2）当m≥1，求g（m）的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先进行配方，然后利用对称轴与区间的位置关系进行合理地分类，若在区间内单调，则在端点处取得最值；若顶点在区间内，则在顶点处取得最值，结果为一分段函数的形式，
（2）分段函数求最值就是求出各段函数的最值后比较大小就可求出．

解答：解：（1）当m+1＜

3

2

，即m＜

1

2

时，
g（m）=f（m+1）=-m²+m+3；
当m+1≥

3

2

，m＜

3

2

时，
即

1

2

≤m＜

3

2

时，g（m）=f(

3

2

)=

13

4

；
当m≥

3

2

时，g（m）=f（m）=-m²+3m+1．
所以，g(m)=

-m2+m+3，m＜ 1 2 13 4 1 2 ≤m＜ 3 2 -m2+3m+1，m≥ 3 2

（2）当1≤m＜

3

2

时，g（m）=

13

4

，
当m≥

3

2

时，g（m）=-m²+3m+1的最大值为

13

4

，
综上，当m≥1，求g（m）的最大值为

13

4

．

点评：本题考查了定函数在动区间上的最值问题，以及分段函数求最值．