Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE= PC．

（Ⅰ）求PE的长；
（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，
AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，
且PE= PC，
∴AC= = ，
∴PC= = = ，
∴PE= PC= ．

（Ⅱ）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（ , , ），B（2，0，0），
=（ , , ）， =（2，0，﹣2），
=（1，1，﹣2），
= =0， = =0，
∴AE⊥PB，AE⊥PC，
又PB∩PC=P，∴AE⊥平面PBC．
（Ⅲ）解：D（0，1，0）， =（2，0，0）， =（0，1，0）， =（ , , ），
设平面ABE的法向量 =（x，y，z），
则 ，取y=1，得 =（0，1，﹣1），
设平面ADE的法向量 =（a，b，c），
则 ，取a=1，得 =（1，0，﹣1），
设二面角B﹣AE﹣D的度数为θ，
则cosθ= = = ．
∴θ=60°，
∴二面角B﹣AE﹣D的度数为60°．
【解析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC长，从而得到PC长，由此能求出PE．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面PBC．（Ⅲ）求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度数．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．