Question

（2012•东城区模拟）已知函数f（x）=

x

1+|x|

 （x∈R）），给出下列命题：
（1）对?∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确命题的序号为

（1）、（2）、（3）

（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：命题（1）可直接代入验证；
命题（2）分x=0和x≠0求解，当x≠0时，分子分母同时除以x可求；
命题（3）用单调性定义证明函数在R上为单调函数；
命题（4）根据函数为奇函数，分析在（0，+∞）上函数是否有零点，则在（-∞，0）随之判出．

解答：（1）f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f(x)，所以（1）成立；
（2）当x=0时f（x）=0，因函数为奇函数，当x＞0时，f（x）=

x

1+x

=

1

1+ 1 x

，∵

1

x

＞0，∴1+

1

x

＞1，
∴0＜

1

1+ 1 x

＜1，即0＜f（x）＜1；由对称性知当x＜0时，-1＜f（x）＜0，又f（0）=0，∴函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）设x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+|x1|

-

x2

1+|x2|

=

x1+x1|x2|-x2-x2|x1|

(1+|x1|)(1+|x2|)

=

x1-x2

(1+|x1|)(1+|x2|)

∵x₁＜x₂＜0，∴

x1-x2

(1+|x1|)(1+|x2|)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在（-∞，0）为单调函数，所以函数在定义域上为单调函数，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）当x＞0时，由f（x）-x=0得，

x

1+x

-x=0，此时方程无解，由对称性知，当x＜0时，方程也无解，又f（0）=0，∴函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点0，所以④不正确．
故答案为①②③．

点评：本题考查了命题真假的判断，解答的关键是把原函数分段，在（0，+∞）上判出函数g（x）=f（x）-x的零点情况，根据函数f（x）是奇函数，运用对称性得到函数在整个定义域上的零点情况．