Question

已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且 f（

1

2

）=0，求不等式f（log_ax）＞0 的解集．

Answer 1

分析：由题意可得，函数f（x）在（-∞，0]上是减函数，且满足f（-

1

2

）=0．故由不等式f（log_ax）＞0可得log_ax＜-

1

2

，或log_ax＞

1

2

．再分当a＞1时、当0＜a＜1时两种情况，利用对数函数的定义域和单调性求得不等式的解集．

解答：解：由题意可得，函数f（x）在（-∞，0]上是减函数，且满足f（-

1

2

）=0．
故由不等式f（log_ax）＞0可得 log_ax＜-

1

2

，或log_ax＞

1

2

．
当a＞1时，可得 0＜x＜a-

1

2

=

1

a

，或 x＞

a

．
故不等式的解集为（0，

a

a

）∪（

a

，+∞）．
当0＜a＜1时，x＞a-

1

2

=

a

a

，或0＜x＜

a

，
故故不等式的解集为（0，

a

）∪（

a

a

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．