Question

已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的x∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）给出如下定义：对于函数y=F（x）图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果对于函数y=F（x）图象上的点M（x，y）（其中总能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x）（x₁-x₂）成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f（x）是不是具备性质“L”，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导函数g'（x）=e^1-x1xe^1-x=e^x-1（1-x），从而可知函数在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，因此可求函数的值域．
（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，从而可得，又可得，矛盾，因此满足条件的a不存在
（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于k_AB，不妨设0＜x₁＜x₂，易得即，令，则有，令F（t）=，则由可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，从而方程无解，故可得证．
解答：解：（1）∵g'（x）=e^1-x1xe^1-x=e^x-1（1-x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e函数g（x）在区间（0，e]上的值域为（0，1]…．（3分）
（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数                              …（5分）∵
当a≤0时，，在区间[1，e]上递减，不合题意
当a≥1时，f'（x）＞0，在区间[1，e]上单调递增，不合题意
当时，f'（x）＜0，在区间[1，e]上单调递减，不合题意
当即时，在区间上单调递减；在区间上单递增，
由上可得，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由可得，则a∈Φ
综上，满足条件的a不存在．…..（8分）
（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于k_AB，不妨设0＜x₁＜x₂，则，而f（x）在点M处的切线斜率为，故有…..（10分）
即，令，则上式化为，
令F（t）=，则由可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，即方程无解，所以函数f（x）不具备性质“L”．…（14分）
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性，和求函数的最值问题，体现了分类讨论和数形结合以及题意的理解与转化的思想．特别是问题（2）的设置，考查了学生创造性分析解决问题的能力．