题目内容

设n为正整数，规定：fn(x)=
f{f[…f(x)…]}
n个f
，已知f(x)=
2(1-x)(0≤x≤1)
x-1(1＜x≤2)
．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；
（3）求f2008(
8
9
)的值．
（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥
2
3
．
∴
2
3
≤x≤1．
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|
2
3
≤x≤2}．

（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f3（x）=x．

（3）f1(
8
9
)=2(1-
8
9
)=
2
9
，
f2(
8
9
)=f(f(
8
9
))=f(
2
9
)=
14
9
，
f3(
8
9
)=f(f2(
8
9
))=f(
14
9
)=
14
9
-1=
5
9
，
f4(
8
9
)=f(f3(
8
9
))=f(
5
9
)=2(1-
5
9
)=
8
9
，
一般地，f4k+r(
8
9
)=fr(
8
9
)（k，r∈N）．
∴f2008(
8
9
)=f0(
8
9
)=
8
9
练习册系列答案
相关题目
设n为正整数，规定：fn(x)=
f{f[…f(x)…]}
n个f
，已知f(x)=
2(1-x)(0≤x≤1)
x-1(1＜x≤2)
．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；
（3）求f2008(
8
9
)的值．
（2007•惠州模拟）设n为正整数，规定：fn(x)=
f{f[…f(x)]}
n个f
，已知f(x)=
2(1-x)，0≤x≤1
x-1，1＜x≤2
，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；
（3）求f2007(
8
9
)的值；
（4）若集合B={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含8个元素．
设n为正整数，规定：fn(x)=
f{f[…f(x)…]}
n个f
，已知f(x)=
2(1-x)
x-1
，
，
(0≤x≤1)
(1＜x≤2)
．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；
（3）探求f2009(
8
9
)；
（4）若集合B={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．

(本小题满分12分)

　　设n为正整数，规定：fn(x)＝，已知f(x)＝ .

(1)解不等式f(x)≤x；

(2)设集合A＝{0,1,2}，对任意x∈A，证明f3(x)＝x；

(3)求f2007()的值；

(4)(理)若集合B＝，证明B中至少包含8个元素.
设n为正整数，规定：，已知．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；
（3）探求；
（4）若集合B={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．

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