Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF，
（1）证明：MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求二面角E-AB-D平面角。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因PA⊥底面ABCD，有PA⊥AB，
又知AB⊥AD，
故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
证得AEFM是矩形，故AM⊥MF，
又因AE⊥PD，AE⊥CD，
故AE⊥面PCD，而MF∥AE，
得MF⊥面PCD，
故MF⊥PC，
因此MF是AB与PC的公垂线。
（Ⅱ）解：因由（Ⅰ）知AE⊥AB，
又AD⊥AB，
故∠EAD是二面角E-AB-D的平面角，
设AB=a，则PA=3a，
因Rt△ADE~Rt△PDA，故∠EAD=∠APD，
因此。