Question

13．设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角取值范围是$[0，\frac{π}{4}]$，则点P纵坐标的取值范围为$[2，\frac{9}{4}]$．

Answer 1

分析 切线的斜率k=tanθ∈[0，1]．设切点为P（x₀，y₀），k=y′|_x=x0=2x₀+2，上此可知点P横坐标的取值范围．

解答 解：∵切线的斜率k=tanθ∈[tan0，tan$\frac{π}{4}$]=[0，1]．
设切点为P（x₀，y₀），于是k=y′|_x=x0=2x₀+2，
∴x₀∈[-1，-$\frac{1}{2}$]
则y₀∈[$[2，\frac{9}{4}]$．
故答案为：$[2，\frac{9}{4}]$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．