Question

设向量

.

a

=（4cosα，sinα），

.

b

=（sinβ，4cosβ），

.

c

=（cosβ，-4sinβ）．
（1）若

.

a

与

.

b

-2

.

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

.

b

+

.

c

|的最大值；
（3）若

.

a

∥

.

b

，求

cos(α+β)

cos(α-β)

的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积以及两向量垂直时对应的结论即可得到答案；
（2）直接代入向量的模长计算公式结合三角函数的取值范围即可得到结论；
（3）先根据两向量平行的等价条件求出关于α和β之间的等式，再代入所求即可．

解答：解：（1）∵

.

a

=（4cosα，sinα），

.

b

=（sinβ，4cosβ），

.

c

=（cosβ，-4sinβ）．
∴

a

•

b

=4cosαsinβ+4sinαcosβ=4sin(α+β)，

a

•

c

=4cos(α+β)，
∵

a

•(

b

-2

c

)=0，
∴

a

•

b

=2

a

•

c

，
∴4sin（α+β）=8cos（α+β），
即tan（α+β）=2
（2）∵|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=

17-15sin2β

≤4

2

，
即|

b

+

c

|的最大值为4

2

（3）∵

a

∥

b

∴16cosαcosβ-sinαsinβ=0，tanαtanβ=16，

cos(α+β)

cos(α-β)

=

1-tanαtanβ

1+tanαtanβ

=-

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点评：本题通过向量的数量积为载体，考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，逻辑推理能力．