Question

已知A、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆M的中心，且。

（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵点A的坐标为（，0），
∴，椭圆方程为，      ①
又∵，且BC过椭圆M的中心 O（0，0），
∴，
又∵，
∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（，），
将（，）代入①式得，
∴椭圆M的方程为。
（2）当直线的斜率k=0，直线的方程为y=t，则满足题意的t的取值范围为-2<t<2，
当直线的斜率k≠0时，设直线的方程为y=kx+t，
由，得，
∵直线与椭圆M交于两点P、Q，
∴△=，
即，                                       ②
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点，
则H的横坐标， 纵坐标，
D点的坐标为（0，-2），
由，得DH⊥PQ，，
即，即，     ③
∴，∴t>1，                                     ④
由②③得0<t<4，结合④得到1<t<4，
综上所述，t的取值范围是（-2，4）。