Question

已知数列{a_n}是首项a₁=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，s_n为数列{a_n}的前n项和，又b_n+5loglog2 (1-sn)=t，常数t∈N^*，数列{C_n}满足cn=an×b_n．
（Ⅰ）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（Ⅱ）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k，t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，a_n=(

1

2

)n，∴S_n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n，
∴b_n=t-5log₂（1-S_n）=t-5log₂(

1

2

)n=5n+t，∴c_n=（5n+t）(

1

2

)n，
∴{c_n}是递减数列，
∴c_n+1-c_n=（

5n+5+t

2

-5n-t）(

1

2

)n＜0恒成立，即t＞-5n+5恒成立，
∴f（n）=-5n+5是递减函数，∴当n=1时f（n）取最大值0，
∴t＞0，又t∈N^*，∴t_min=1．                                   …（6分）
（Ⅱ）记5k+t=x，则c_k=（5n+t）（

1

2

）^k=x（

1

2

）^k，且x∈N^*，
∴c_k+1=（5k+5+t）（

1

2

）^k+1=（x+5）（

1

2

）^k+1，c_k+2=（5k+10+t）（

1

2

）^k+2=（x+10）（

1

2

）^k+2，
①若c_k是等比中项，则由c_k+1•c_k+2=c_k²得：
（x+5）（

1

2

）^k+1•（x+10）（

1

2

）^k+2=x²（

1

2

）^k+2，化简得：7x²-15x-50=0，显然不成立．
②若c_k+1是等比中项，则由c_k•c_k+2=c_k+1²得：
x（

1

2

）^k•（x+10）（

1

2

）^k+2=（x+5）²（

1

2

）^2k+2，化简得：x（x+10）=（x+5）²，显然不成立．
③若c_k+2是等比中项，则由c_k•c_k+1=c_k+2²得：
（x+5）（

1

2

）^k+1•x（

1

2

）^k=（x+10）²（

1

2

）^2k+4，化简得：7x²+20x-100=0，
因为△=20²+4×7×100=32×100不是完全平方数，因而x的值是无理数，与x∈N^*矛盾．
综上：不存在k和t适合题意．…（12分）