Question

（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=asinx+bcos（x-

π

3

）的图象经过点（

π

3

，

1

2

），（

7π

6

，0）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

3 2 a+b= 1 2 - 1 2 a- 3 2 b=0

，解此方程组即可求得实数a，b的值；
（2）将f（x）化为f（x）=sin（x-

π

6

），再由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

结合x∈[0，π]，即可求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=asinx+bcos（x-

π

3

）的图象经过点（

π

3

，

1

2

），（

7π

6

，0），
∴

3 2 a+b= 1 2 - 1 2 a- 3 2 b=0

，（4分）
解得：a=

3

，b=-1．（5分）
（2）由（1）知：f（x）=

3

sinx-cos（x-

π

3

）
=

3

2

sinx-

1

2

cosx
=sin（x-

π

6

），（9分）
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

　k∈Z．
∵x∈[0，π]，
∴x∈[0，

2π

3

]，
∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，

2π

3

]．（12分）

点评：本题考查复合三角函数的单调性，考查方程组法求函数解析式，考查三角函数的化简与求值，属于中档题．