Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设PD=CD=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
所以=（2，0，-2），=（0，1，1），=（2，2，0）．
设=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，
则由，得；
取=-1，则=（1，-1，1），
∵•=2-2=0，
∴⊥，又PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知=（1，-1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．
设二面角B-DE-C的平面角为θ，由图可知θ=＜，＞，
∴cosθ=cos＜，＞===，
故二面角B-DE-C余弦值为．
（3）∵=（2，2，-2），=（0，1，1），
∴•=0+2-2=0，∴PB⊥DE．
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设=λ（0＜λ＜1），
则=（2λ，2λ，-2λ），=+=（2λ，2λ，2-2λ），
由•=0得4λ²+4λ²-2λ（2-2λ）=0，
∴λ=∈（0，1），此时PF=PB，
即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．
分析：（1）建立空间直角坐标系，根据直线所在的向量与平面的法向量相互垂直，并且直线不在平面内可得直线与平面平行．
（2）分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算计算出两个向量的夹角，进而得到二面角平面角的余弦值．
（3）假设存在点F，则直线PB所在的向量与平面DEF的法向量平行，根据这个条件可得到一个方程，再根据有关知识判断方程的解的情况．
点评：本题主要考查线面平行的证明、二面角的求解以及线面垂直的探索，解决此类问题的最好方法就是向量法，可以将其转化为向量的基本运算．