Question

已知函数f(x)=

x2+x+4 x ，(x＞0) - x2-x+4 x ，(x＜0).

（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（0，2]上的单调性；
（3）根据以上结论猜测f（x）在[-2，0）上的单调性，不需要证明．

Answer 1

（1）当x＞0时，-x＜0，则f(x)=

x2+x+4

x

，f(-x)=-

(-x)2-(-x)+4

(-x)

=

x2+x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，则f(x)=-

x2-x+4

x

，f(-x)=-

(-x)2+(-x)+4

(-x)

=-

x2-x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（2）当x＞0时，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，
设x₂＞x₁＞0，则f(x 2)-f(x1)=

x2-x1

x1•x2

(x1•x2-4)．
当2≥x₂＞x₁＞0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴函数f（x）在（0，2]上是减函数．
（3）根据偶函数的图象的对称性可得，函数为增函数．