Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）判断直线B₁P与平面ACC₁A₁是否垂直，请证明你的结论；
（3）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的余弦值．

Answer 1

解：（1），
（2）建立如图空间坐标系O-xyz，设AP=a，
则A，C，B₁，P的坐标分别为；
∴，
∴B₁P不垂直AC；
∴直线B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；

（3），
由BC₁⊥B₁P，得，
即2+2（a-2）=0∴a=1；
又BC₁⊥B₁C∴BC₁⊥面CB₁P；
∴是面CB₁P的法向量；
设面C₁B₁P的法向量为，
由得，
设二面角C-B₁P-C₁的大小为α，则，
∴二面角C-B₁P-C₁的余弦值大小为．
分析：1、根据公式求解即可．2、利用空间直角坐标系，根据向量可以证明．3、借用（2）中的坐标系，利用法向量求解．
点评：本题考查学生的空间想象能力，空间直角坐标系的使用，及二面角的求法，是中档题．