题目内容
如图，椭圆方程为
，
为椭圆上的动点，
为椭圆的两焦点，当点不在
轴上时，过
作
的外角平分线的垂线
,垂足为
，当点在轴上时，定义与重合。
（Ⅰ）求点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）已知
、
，试探究是否存在这样的点
：点是轨迹内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且
的面积
？若存
在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。
 |
解：(Ⅰ)当点P不在轴上时，延长与
的延长线相交于点N，连结OM，
,
,
是线段
的中点，
………………………………………………………………………2分
。
点P在椭圆上，
。…………………………4分
当点P在轴上时，M与P重合，
M点的轨迹方程为
。……………………………………………6分
 |
（Ⅱ）连结OE，易知轨迹T上有两个点
，满足
,
分别过A,B作直线OE的两条平行线
，同底等高的两个三角形的面积相等，
∴符合条件的点均在直线
、
上。……………………………………………7分
∵
∴直线、的方程分别为：
、
。
………………………………………………………………………………………8分
设点
（
）∵在轨迹T内，∴
。…………9分
分别解
与
得
与
………………………………………………11分
∵∴为偶数，在
上
对应的
在
上
，对应的
…………………………13分
∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：
。
………………………………………………………………………………………15分
练习册系列答案
相关题目
已知如图，椭圆方程为
.P为椭圆上的动点,
、
，试探究是否存在这样的点
：
？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
（本题满分14分）已知如图，椭圆方程为
.P为椭圆上的动点,
、
，
：
？
：
，
、
、
、
为椭圆
到焦点距离的最大值为
，最小值为
，求椭圆方程；
相交于
，
两点（
不是椭圆的左右顶点），并满足
试研究：直线
是否过定点？ 若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由