Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，AA₁⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=AA₁=1，AB=2．
（1）求证：A₁C₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面A₁BD与平面BCC₁B₁所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁的中点E，连接EC₁，可得四边形A₁EC₁D₁是正方形，算出∠A1C1E=

π

4

．由△B₁C₁E是等腰直角三角形，得到A₁C₁⊥B₁C₁，结合CC₁⊥A₁C₁利用线面垂直判定定理，可得A₁C₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．算出D、A、B、A₁、C₁各点的坐标，从而得到向量

DA1

、

DB

、

A1C1

的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法算出

n2

=(-2，1，2)是平面A₁BD的一个法向量，结合平面BCC₁B₁的一个法向量为

n1

=

A1C1

=(-1，1，0)，利用空间向量的夹角公式算出＜

n1

，

n2

＞的夹角，即可算出平面A₁BD与平面BCC₁B₁所成二面角的大小．

解答：解：（1）AA₁⊥底面ABCD，所以CC₁⊥A₁C₁…（1分），
取A₁B₁的中点E，连接EC₁，
则四边形A₁EC₁D₁是正方形，∠A1C1E=

π

4

…（3分），
又∵B₁E=C₁E=1，∠B1C1E=

π

4

，
∴∠A1C1B1=

π

2

，即A₁C₁⊥B₁C₁…（4分），
∵CC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁…（5分）．
（2）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示…（6分），
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），
A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）…（7分），

DA1

=(1，0，1)，

DB

=(1，2，0)，

A1C1

=(-1，1，0)…（8分），
由（1）知，平面BCC₁B₁的一个法向量为

n1

=

A1C1

=(-1，1，0)…（9分），
设平面A₁BD的一个法向量为

n2

=(a，b，c)，
则

n2 • DB =0 n2 • DA1 =0

，即

a+2b=0 a+c=0

…（11分），
设b=1，则a=-2，c=2，可得

n2

=(-2，1，2)…（12分），
因此所求二面角大小为θ，满足cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，
结合θ∈[0，π]，可得所求二面角的大小为

π

4

…（14分）．

点评：本题给出直四棱柱，求证线面垂直并求二面角的大小．着重考查了线面垂直的判定与性质、直四棱柱的定义、利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．