Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx．
（I）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方；
（II）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）构造F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，利用导数确定在[1，+∞）上，F（x）＜0，即可得到结论；
（II）x＞0时，[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)，利用二项式定理，结合基本不等式，即可证得结论．

解答：证明：（I）设F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，则F′(x)=

(1-x)(1+x+2x2)

x

，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上是减函数．
又F（1）=-

1

6

＜0，故在[1，+∞）上，F（x）＜0，即

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，
∴在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方；---------（6分）
（II）∵x＞0，∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)．
当n=1时，不等式显然成立；
当n≥2时，有[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

2 n

xn-2•

1

x2

+…+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

=

1

2

[

C

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)+

C

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)+…+

C

n-1 n

(xn-2+

1

xn-2

)]
≥

1

2

（2

C

1 n

+2

C

2 n

+…+2

C

n-1 n

）=2ⁿ-2
∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．--------------------（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．