Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，an=

Sn + Sn-1

2

．
（Ⅰ）证明数列{S_n}是一个等差数列；
（Ⅱ）求a_n．

Answer 1

分析：（1）由n=1时，可得S₁=a₁=1，n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1=（

Sn

+

sn-1

）（

Sn

-

sn-1

）=

sn + sn-1

2

可证得

sn

-

sn-1

=

1

2

，即可证明
（2）由（1）可求S_n=（

1+n

2

）²，利用n=1时 a₁=S₁，n＞1时a_n=S_n-S_n-1可求

解答：（1）证明：当n=1时，S₁=a₁=1 （2分）
当 n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（ 

Sn

+

sn-1

）（

Sn

-

sn-1

）=

sn + sn-1

2

而 

sn

+

sn-1

≠0
∴

sn

-

sn-1

=

1

2

（4分）
∴数列 

sn

是一个等差数列 （6分）
（2）由（1）得 

sn

=

1+n

2

  S_n=（ 

1+n

2

）²
当n=1时 a₁=S₁当n＞1时（10分）
a_n=S_n-S_n-1=

2n+1

4

∴a_n=

1，n=1 2n+1 4 ，n≥2

（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的定义在证明中的应用，数列的递推公式a_n=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

的应用是实现数列的和与项转化的关键