Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，Q(1，

3

2

)在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线l相交于M₁，M2．问是否存在x轴上定点D，使得以M₁M₂为直径的圆恒过点D？若存在，求点D的坐标：若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点Q的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率和a²-c²=b²联立求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）假设存在x轴上定点D，使得以M₁M₂为直径的圆恒过点D，设出P和D的坐标，求出AP和PB的方程，取x=4得到M₁，M₂的坐标，写出向量

DM1

和

DM2

的坐标，有数量积等于0列式求出D的坐标．

解答：解：（1）由Q(1，

3

2

)在椭圆上，得

1

a2

+

9

4b2

=1①，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a²=4c²=4（a²-b²），
则3a²=4b²，代入①得，a²=4，所以b²=3．
则椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假设存在x轴上定点D，使得以M₁M₂为直径的圆恒过点D．
设P（x₀，y₀），D（m，0），
则

x02

4

+

y02

3

=1，得12y02=36-9x02．
kAP=

y0

x0+2

，kPB=

y0

x0-2

，
椭圆右准线为x=4．
所以AP方程为：y=

y0

x0+2

(x+2)，则M1(4，

6y0

x0+2

)．
PB方程为：y=

y0

x0-2

(x-2)，则M2(4，

2y0

x0-2

)．
则

DM1

=(4-m，

6y0

x0+2

)，

DM2

=(4-m，

2y0

x0-2

)．
由

DM1

•

DM2

=0，得(4-m)2+

12y02

x02-4

=0．
即（4-m）²=9，解得m=1或m=7．
所以D（1，0）或（7，0）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了平面向量的数量积判断两个向量的垂直，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．