Question

一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是35 m，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？（单位是 km/h，精确到个位）

(参考数据：sin12°=0.207 9,cos12°=0.978 1,tan12°=0.212 5)

Answer 1

剖析：本题的背景是物理中的运动学规律，摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的，它们运行的位移都是时间t的函数，故应引入时间t，通过速度v的矢量分解来寻找解决问题的途径.

解： 摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是

   

    其中v是摩托车飞离跑道时的速度，t是飞行时间，x是水平飞行距离，y是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为

    y=-×9.8x²+tan12°·x,

    即y=-5.121 9+0.212 5x.

    当x≈0.020 7v²时，

    取得y_max≈0.002 2v².

    当x=35时，y_落=-6 274.327 5+7.437 5.

   ∵y_max-y_落=10,

    0.002 2v²+6 274.327 5-17.437 5=0,

    解得v≈19.44 m/s或v≈86.88 m/s.

    若v≈86.88 m/s,则x=156.246 m，与题目不符，

    而v≈19.44 m/s,符合题意，为所求解.

    故v≈19.44 m/s=69.984 km/h≈70 km/h.

    答：骑手沿跑道飞出时的速度应为70 km/h.

讲评：本题直接构造y是x的函数解析式很困难，应引入适当的参数（时间t）作媒介，再研究x与y是怎样随参数变化而变化的，问题往往就容易解决了.这种辅助变量的引入要具体问题具体分析，以解题的简捷为原则.