题目内容
1．若G是△ABC的重心，且$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，则角A=（ ）| A． | 30° | B． | 45° | C． | 60° | D． | 90° |
分析 根据重心性质可知：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，由$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，知（a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GA}$+（b-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$．因为$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共线，所以a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，由余弦定理可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出∠A．
解答 解：根据重心性质可知：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，
∴（a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GA}$+（b-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共线，
∴a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=30°．
故选A．
点评 本题考查了三角形重心对应的向量条件的应用，即把几何问题转化为向量问题，利用和角的正切公式，属于中档题．
同步奥数系列答案| A． | $-\frac{1}{2}{a^2}$ | B． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$ | C． | $\frac{1}{2}{a^2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$ |
| A． | $\sqrt{10}$ | B． | 5 | C． | 3 | D． | $\sqrt{11}$ |
如图，已知⊙M：（x-4）2+y2=1和抛物线C：y2=2px（p＞0，其焦点为F），且$\overrightarrow{FM}$=（$\frac{15}{4}$，0，），过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线分别与⊙M相切于A、B两点．