Question

（2013•汕头一模）数列{a_n}的前n项和为S_n，Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)
（I）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=(

1

2

)n-a_n，P=

2013

i=1

1+ 1 c 2 i + 1 c 2 i+1

，求不超过P的最大整数的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)，令n=1可求a₁，n≥2时，利用a_n=s_n-s_n-1可得a_n与a_n-1之间的递推关系，构造等可证等比数列
（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求nb_n，利用错位相减法可求数列的和
（Ⅲ）由（Ⅰ）可求a n=(

1

2

)n-n，进而可求c_n，代入P中利用裂项求和即可求解

解答：解：（Ⅰ） 因为Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)
当n=1时，2a₁=-1，则a₁=-

1

2

，…．（1分）
当n≥2时，an-1+sn-1=-

1

2

(n-1)2-

3(n-1)

2

+1，…．（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以bn=

1

2

bn-1，而b₁=a₁+1=

1

2

，…．（3分）
所以数{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
所以bn=(

1

2

)n．…．（4分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得nbn=

n

2n

．
所以  ①Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②2Tn=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

…．（6分）
②-①得：Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…．（7分）
Tn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(

1

2

)n-n
∴c_n=n…（9分）
而

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，…（11分）
所以P=(1+

1

1

-

1

2

)+(1+

1

2

-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

4

)+…+(1+

1

2013

-

1

2014

)=2014-

1

2014

，
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，数列的错位相减求和及裂项求和方法的综合应用