题目内容
已知函数f(x)=log2
，(-1≤x≤1)为奇函数，其中a为不等于1的常数；
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，求m的范围．
| 5+ax |
| 5+x |
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，求m的范围．
（1）∵f(x)=log2
，(-1≤x≤1)为奇函数
∴f（-x）=-f（x），即log2
=-log2
即
=
对x∈[-1，1]恒成立；
所以（5+ax）（5-ax）=（5+x）（5-x）
∴a=±1，
因为a为不等于1的常数，所以a=-1
（2）∵f(x)=log2
，(-1≤x≤1)
设t=
，(-1≤x≤1)，则f（t）=log2t，
因为t=
=-1+
在[-1，1]上递减所以
≤t≤
，
又因为f（t）=log2t，在[
，
]上是增函数，
所以f(t)min=log2
因为对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，所以f（x）min＞m
所以m＜log2
| 5+ax |
| 5+x |
∴f（-x）=-f（x），即log2
| 5-ax |
| 5-x |
| 5+ax |
| 5+x |
即
| 5-ax |
| 5-x |
| 5+x |
| 5+ax |
所以（5+ax）（5-ax）=（5+x）（5-x）
∴a=±1，
因为a为不等于1的常数，所以a=-1
（2）∵f(x)=log2
| 5-x |
| 5+x |
设t=
| 5-x |
| 5+x |
因为t=
| 5-x |
| 5+x |
| 10 |
| x+5 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
又因为f（t）=log2t，在[
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
所以f(t)min=log2
| 2 |
| 3 |
因为对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，所以f（x）min＞m
所以m＜log2
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| 3 |
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