Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）设（1）中的椭圆C与直线y=kx+1相交于P、Q两点，求

OP

•

OQ

的取值范围；
（3）设A为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴的一个端点，B为椭圆短轴的一个端点，F为椭圆C的一个焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ．当椭圆C同 时满足下列两个条件：①

π

6

≤θ≤

π

4

；②O到直线AB的距离为

2

2

，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得a²=b²+1，且2b²=a²+1，联立可解得a²，b²；
（2）将y=kx+1代入椭圆方程消掉y可得关于x的二次方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理可把

OP

•

OQ

表示为k的函数，根据基本函数的性质可求得

OP

•

OQ

的取值范围；
（3）由条件②利用点到直线的距离公式可得a，b的关系式，由条件①

3

3

≤tanθ≤1，即

3

3

≤

b

c

≤1，该不等式可化为关于a的不等式，解出可得a的范围；

解答：解：（1）由已知，a²=b²+1，且2b²=a²+1，
联立解得a²=3，b²=2，
∴椭圆C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）将y=kx+1代入椭圆方程，得

x2

3

+

(kx+1)2

2

=1，
化简得，（3k²+2）x²+6kx-3=0，△＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

6k

3k2+2

，x₁x₂=-

3

3k2+2

，
∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=

-3(k2+1)

3k2+2

-

6k2

3k2+2

+1=

-6k2-1

3k2+2

=-2+

3

3k2+2

，
由k²≥0，得3k²+2≥2，0＜

3

3k2+2

≤

3

2

，-2＜-2+

3

3k2+2

≤-

1

2

，
∴

OP

•

OQ

的取值范围是(-2，-

1

2

]．
（3）A（-a，0），B（0，b），直线AB的方程为：

x

-a

+

y

b

=1，即bx-ay+ab=0，
由②得，

ab

a2+b2

=

2

2

，整理得，b2=

a2

2a2-1

，
由①得，

3

3

≤tanθ≤1，即

3

3

≤

b

c

≤1，
∴

1

3

≤

b2

c2

≤1，
又∵c2=a2-b2=a2-

a2

2a2-1

=

2a4-2a2

2a2-1

，
∴

1

3

≤

a2 2a2-1

2a4-2a2 2a2-1

≤1，即

1

3

≤

1

2a2-2

≤1，
∴1≤2a²-2≤3，解得

6

2

≤a≤

10

2

，
∴

6

≤2a≤

10

，
∴椭圆长轴长的范围为：[

6

，

10

]．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、向量的数量积运算、椭圆方程的求解，考查椭圆中的不等式，考查学生分析问题解决问题的能力．