Question

已知双曲线C的方程为x²-y²=4,椭圆E以双曲线C的顶点为焦点,且椭圆右顶点A到双曲线C的渐近线距离为3.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若直线y=x与椭圆E交于M、N两点(M点在第一象限),P、Q是椭圆上不同于M的相异两点,并且∠PMQ的平分线垂直于x轴.试求直线PQ的斜率.

Answer 1

解:(1)设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0),由题意解得

因此,椭圆的方程为=1.

(2)由解之得或∴M(,).

若PM斜率存在,∵∠PMQ的平分线垂直于x轴,

设PM的斜率为k,则QM的斜率为-k,因此PM和QM的方程分别为

y=k(x)+,y=-k(x)+,由

消去y并整理得(1+3k²)x²-3k(k-1)x+k²-9k=0(*).

∵M(,)在椭圆上,∴x=是方程(*)的一个根.

从而x_P=,同理x_Q=,

从而直线PQ的斜率:k_PQ==.

直线PQ的斜率为.若直线PM的斜率不存在,则点Q、M重合,与题设不符.

综上所述,直线PQ的斜率为定值.